Jordan 標準形
n 次の Jordan 細胞$ J_n(\lambda_i)=\begin{pmatrix}\lambda_i & 1 & \dots & \dots & 0 \\ \vdots & \lambda_i & 1 & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & & \lambda_i & 1 \\ 0 & \dots & \dots & \dots & \lambda_i \end{pmatrix}
正方行列$ Aの固有値を$ \lambda_1,\dots,\lambda_mとして、$ J=\begin{pmatrix} J_{n_1}(\lambda_1) & \dots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & J_{n_m}(\lambda_m) \end{pmatrix} Jordan 基底
Jordan 分解
線形寫像$ fを、半單純な線形寫像$ f_sと冪零な線形寫像$ f_nとに、$ f=f_s+f_n,$ f_sf_n-f_nf_s=0と一意に分解できる Lie 群$ Gを、正規列$ 1\subset G_{\rm nil}\subset G_{\rm sol}\subset G_0\subset Gと分解できる $ G_0は$ Gの單位元を含む聯結成分
$ G/G_0は離散
$ G_{\rm sol}は$ Gの最大の聯結可解正規部分群 $ G_0/G_{\rm sol}は聯結單純 Lie 群の積の中心擴大
$ G_{\rm nil}は$ Gの最大の聯結冪零正規部分群 $ G_{\rm sol}/G_{\rm nil}は可換 Lie 群
$ G_{\rm nil}/1は冪零
広義固有 vector
行列$ Aの固有値$ \lambdaに對して、$ (A-\lambda I)^{n-1}{\bf x}_n\ne 0,$ (A-\lambda I)^n{\bf x}_n=0である vector$ {\bf x}_nを、行列$ Aの階數 n の広義固有 vector (generalized eigenvector) と呼ぶ n 次正方行列は n 個の広義固有 vector を持つ
固有値$ \lambdaの代數的重複度が$ kならば、$ \lambdaは對應する$ k個の広義固有 vector を持つ Jordan 鎖
標準基底 (canonical basis)
冪零軌道